Baumgarten-díjas (1947), József Attila-díjas (1951, 1974), Kossuth-díjas (1949, 1954). Szegény, zsidó falusi kántor fia. Miskolcon végzett négy elemi és két gimnáziumi osztályt. 1919-től családjával Bp.-en élt, apja halála után 1920-tól kereskedőinas volt, 1921-től Szatmárnémetiben dolgozott tovább. Részt vett az erdélyi ifjúmunkás mozgalomban. 1925-ben Kassák Lajos közölte első versét (Valaki…) a 365 c. lapjában, majd néhány versét a Munka és a Dokumentum c. folyóiratában tette közzé. 1925-ben Bp.-re költözött, alkalmi munkákat vállalt az Angol Parkban, szállodákban, kávéházakban. Tagja lett a Magyarországi Szocialista Munkáspártnak. 1927-ben előbb rendőri felügyelet alá került, majd letartóztatták és kitoloncolták Romániába. 1928-ban hazaszökött, Szatmári Zoltán álnéven élt. 

 A Nyugatban először 1928-ban jelent meg verse. Gazdag és ízes magyar nyelvvel felszerelkezve szépen csengő, hangzatos, durvaságtól és trágárságtól mentes verseket írt. Első verseskötetéről, Csuklódon a vér kibuggyan (1930) Radnóti Miklós írt elismerő kritikát (Kortárs, 1930. 6. sz.). 1937-ben ismét letartóztatták, de az irodalmi közvélemény, főleg Illyés Gyula közbenjárására kiszabadult. A lélek panaszaiból c. verseskötetében (1942) 1936 és 1942 között írt verseit gyűjtötte össze. A II. világháborúban munkaszolgálatosként került Ukrajnába (1942-44). A Szálasi - puccs idején megszökött, a háború végéig felesége, Bátori Irén írónő bújtatta zuglói lakásukban. 1945 tavaszától a Szabadság c. napilap kulturális rovatvezetője, majd a Népszava munkatársa, utóbb az Athenaeum könyvkiadó lektora volt. Megjelentek válogatott versei (A teremtés tanúja, 1945), 1942-1947 között írt versei (Kagylóban a tenger, 1947). Az 1948-1953 közötti időben tudatosan pártos költő volt (A hűség és hála éneke, 1949; A pártos éneke, 1950; A nép szívében, 1952). Gyermeklapot alapított és szerkesztette a Kisdobost (1952-1956), melyben számos mellőzött írónak, költőnek biztosított publikálási lehetőséget. 1956-ban az Írószövetség forradalmi csoportjához tartozott. Ekkor már tisztában volt a kommunizmus fonákságaival és az 1956-os forradalom lelkes híve lett. A forradalom leverését követően háromévi fogságra ítélték, de amnesztiával másfél év után, 1958. október 15.-én szabadult. Azonban a szabadulás nem töltötte el örömmel: felesége egy héttel szabadulása előtt meghalt, édesanyja pedig a halálos ágyán feküdt, s másnapra meg is halt. Zelk életében ez volt a mélypont, de lírájában egy új korszak kezdődött. Írásai csak 1962-től jelenhettek meg rendszeresen. Az ezernevű lány c. mesejátékát Szervánszky Endre zenéjével a Bartók Teremben mutatták be 1963. január 24-én. Ebben az évben jelentek meg új versei a Tűzből mentett hegedű c. kötetben, benne a halott feleség siratása (Sirály). 1964-től írt karcolatokat, tárcákat, jegyzeteket az Élet és Irodalomban, 1965 és 1967 között a Tükörben is megjelentek írásai. 1967-ben Négy perc múlva beáll az ősz c. lírai játékát az Irodalmi Színpadon játszották. Sirály címmel 1973-ban adta közre összegyűjtött verseit (1925-1972). Az Irodalmi Színpad a Fáklya-klubban 1974. december 19-én Zelk estet rendezett. Emlékezetes maradt szereplése Szabó István és Sára Sándor Tűzoltó utca 25. c. filmjében. Életében megjelent utolsó verseskönyve: Főhajtás a túlvilágra (1988). 1981. április 23.-án halt meg Budapesten. Kiadatlan művei második felesége, Sinka Erzsébet irodalomtörténész gondozásában jelentek meg.