Apja Johann George Straub és testvérei, Johann Baptist, Joseph és Johann Georg Straub is szobrászok voltak. Bár Németországban született, Württembergből származott, és Münchenben tanult, pályafutását leginkább Ausztriában - először Bécsben, ahol a Képzőművészeti Főiskolán tanult -, majd Grazban töltötte, és ott 1730-ben csatlakozott a szobrász Johann Jakob Schoy műhelyéhez, annak halálakor pedig átvette a műhelyt. Elsősorban kővel és fával dolgozott, megteremtette a D-bajor rokokó stílust és befolyásolta a helyi Stájer hagyományokat. Tökéletes technikai tudás, érzelem gazdag kifejezőerő jellemzi műveit.

A legjelentősebb munkák közé nála az oltárok tartoznak, így 1730ban Grazban a mára már elpusztult Szent Vér plébániatemplom és a Szent Ägydius Székesegyház, no meg a Búcsújáró templom (Weiz) oltárát; 1734-ben elkészítette a Kálváriahegyen a Nepomuki Szent János-emléket, 1742-ben pedig a plébániatemplom Nepomuki Szent János-oltárának szobrait. Nagy valószínűséggel neki tulajdoníthatók az egervári római katolikus templom főoltár-tabernákulumának szobrai (1757), közöttük Szent Rókus és Szent Sebestyén (Magyar Nemzeti Galéria, helyükön ma másolatok állnak). Az 1760-as években a szécsiszigeti és az ercsi római katolikus templom rokokó szobordíszét faragta műhelyével. Sokat dolgozott Magyarországon, a Dunántúlon a Szapáry és a Széchényi családok számára is.